El nombre e

El nombre \(e\) es pot definir mitjançant la sèrie infinita següent:

\(e = \sum_{i=0}^\infty {1 \over i!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots\)

Deseu el generador i les funcions següents al fitxer nombre_e.py.

1. Dissenyeu el generador e_termes que genera els termes de la sèrie infinita anterior, és a dir, \({1 \over 0!}\), \({1 \over 1!}\), \({1 \over 2!}\), i així successivament. Per exemple,

   >>> from nombre_e import e_termes
   
   >>> it = e_termes()
   >>> print '%.5g' % it.next()
   1
   >>> print '%.5g' % it.next()
   1
   >>> print '%.5g' % it.next()
   0.5
   >>> print '%.5g' % it.next()
   0.16667
   >>> print '%.5g' % it.next()
   0.041667
   >>> print '%.5g' % it.next()
   0.0083333
   >>> print '%.5g' % it.next()
   0.0013889
   >>> print '%.5g' % it.next()
   0.00019841
   >>> print '%.5g' % it.next()
   2.4802e-05
   >>> print '%.5g' % it.next()
   2.7557e-06
   >>> print '%.5g' % it.next()
   2.7557e-07
   

Els apartats següents d’aquest problema s’han de resoldre usant les utilitats de itertools i les funcions predefinides, però sense utilitzar iteracions; doncs, està prohibit usar while o for en el cos de les funcions que dissenyeu.

2. Dissenyeu la funció e_serie_n que donat un nombre natural n calcula la sèrie anterior fins al terme n-éssim inclòs, és a dir, \(S_{n}\): \(S_n = \sum_{i=0}^n {1 \over i!}\)

   Per exemple,

   >>> from nombre_e import e_serie_n
   
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(0)
   1
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(1)
   2
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(2)
   2.5
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(3)
   2.6667
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(4)
   2.7083
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(5)
   2.7167
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(6)
   2.7181
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(7)
   2.7183
   >>> print "%.5g" % e_serie_n(8)
   2.7183
   

   Per aquest apartat, islice us pot resultar útil.

3. Dissenyeu la funció e_serie_eps que donat l’error admissible \(\epsilon\) calcula la sèrie anterior formada per tots els termes més grans que \(\epsilon\), és a dir, \(S_{n}\) tal que \({1 \over n!} {>} \epsilon\) i \({1 \over (n+1)!} \leq \epsilon\). Per exemple,

   >>> from nombre_e import e_serie_eps
   
   >>> print "%.5g" % e_serie_eps(1e-3)
   2.7181
   >>> print "%.5g" % e_serie_eps(1e-4)
   2.7183
   >>> print "%.5g" % e_serie_eps(1e-5)
   2.7183
   >>> print "%.8g" % e_serie_eps(1e-5)
   2.7182788
   >>> print "%.8g" % e_serie_eps(1e-6)
   2.7182815
   >>> print "%.8g" % e_serie_eps(1e-7)
   2.7182818
   >>> print "%.8g" % e_serie_eps(1e-8)
   2.7182818
   

   Per aquest apartat, takewhile us pot resultar útil.