.. py:module:: bolzano

Bisecció
========

El `mètode de Bisecció
<https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n>`__ és
una aplicació del teorema de Bolzano que permet trobar aproximacions
de les arrels d'una funció :math:`f` contínua dins d'un interval on
està definida la funció. Aquest mètode consisteix en dividir
l'interval de la definició de la funció :math:`[a,b]` per la meitat i
seleccionar el subinterval que conté l'arrel que estem buscant. Un
interval conté l'arrel si es compleix que :math:`f(a) \cdot f(b)
\,{<}\, 0`. El mètode acaba quan la funció :math:`f` avaluada en el
centre :math:`{c}` de l'interval :math:`[a,b]` val zero. Per comprovar
la igualtat d'un valor :math:`{c}` amb zero, cal usar una tolerància
epsilon, és a dir :math:`\left|f(c)\right| \,{<}\; \epsilon`

.. image:: biseccio.svg
   :align: center
   :width: 400

El teorema de Bolzano estableix que si :math:`f(a) \cdot f(b) \,{<}\,
0` i :math:`f` és contínua en :math:`[a,b]` existeix un valor,
:math:`{c}`, contingut en :math:`[a,b]` tal que :math:`f(c) = 0`. Per
tant, inicialment haurem de buscar dos valors :math:`a` i :math:`b`
dins del domini de la funció, que compleixin l'esmentada propietat i
que seran els límits de l'interval inicial de cerca de l'arrel.

En el fitxer :file:`bolzano.py` (mòdul :py:mod:`bolzano`) dissenyeu la
funció recursiva:

.. py:function:: bisecció(f, a, b, eps) 

   A partir de la funció contínua `f`, els límits de l'interval on hi
   ha l'arrel `a` i `b`, i l'error mínim d'aproximació que es vol
   aconseguir `eps`, retorna l'arrel d'`f` en l'interval :math:`[a,
   b]` calculada segons el mètode de bisecció amb una tolerància
   `eps`.

Per exemple:

.. literalinclude:: test-biseccio.txt
   :language: python
   :lines: 1-14

.. note::

   Disposeu de jocs de proves addicionals al fitxer :download:`test-biseccio.txt`.


.. rubric:: Solució

Disposeu d'una solució al fitxer :download:`bolzano.py
<solucio/bolzano.py>`.